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Cómo cortar el césped | Cómo cortar el césped según las matemáticas.


Dedicar años de estudio a obtener una educación superior en matemáticas puede ayudar a resolver algunos problemas, pero ¿hace alguna diferencia en algo tan simple como cortar el césped? Para averiguarlo, pasé la semana discutiendo las matemáticas de cortar el césped con mis colegas de la Universidad de Nevada, Las Vegas.

Nuestros pensamientos generalmente caen en dos direcciones: si su césped es lo suficientemente simple, puede realizar algunos cálculos bastante específicos para determinar la forma más eficiente de cortarlo. Pero si su césped es lo suficientemente extraño, podría parecer una famosa alegoría matemática.

Hemos cubierto cómo cortar el césped usando matemáticas.

Primero, debe preguntarse: «¿Cuál es la topología de mi césped?» La topología es una rama de las matemáticas que oficialmente solo ha existido durante aproximadamente un siglo. Algunos matemáticos la llaman «geometría ondulada» o «geometría sin medidas». La topología estudia cómo las regiones y las superficies son similares o diferentes, pero no en términos de medidas como en la geometría.

Puedes recordarlo así: «¿Cuál es el volumen de una esfera?» es una cuestión de geometría. “¿Cuál es la diferencia entre una esfera y una dona? es una cuestión de topología.

Topológicamente, su césped puede ser una región conectada sin agujeros, o puede tener uno o más agujeros. Si el «agujero» en su césped es un pequeño obstáculo como un buzón, o uno grande como un grupo de arbustos, estos son topológicamente idénticos. Solo nos preocupa la cantidad de agujeros que tiene que recorrer mientras corta el césped.

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Dos divertidas palabras clave de topología que vale la pena mencionar: Todos los céspedes son delimitado y ajustable. «Limitado» significa que ningún césped se extiende infinitamente en ninguna dirección. «Orientable», por su parte, significa que uno no puede caminar por un césped y volver al mismo lugar al revés, como en una cinta de Möbius.

Buscamos instalaciones de arte con césped cubriendo una tira de Mobius, y hasta ahora parece que nadie ha tenido éxito. Probablemente sea bastante difícil hacer crecer la hierba al revés.

Cómo cortar un césped simple

como cortar el cesped

Leónimágenes falsas

Comencemos con el caso más simple. Suponga que tiene un bonito césped rectangular sin espacios y su cortacésped no puede hacer giros perfectos, por lo que necesita cortar líneas rectas a lo largo del césped. Teniendo en cuenta que esto hará que esas hermosas marcas de cortacésped paralelas se vean bien, esta es probablemente la situación más común. Pero probablemente quiera saber si cortar el césped a lo largo o a lo ancho.

Para ser más matemáticos, definamos corte optimizado. Una siega óptima sería cualquier ruta en la que el cortacésped pasara cada brizna de hierba exactamente una vez.

Di que tu césped es largo I y ancho Oy su cortacésped corta un camino con un ancho METRO. Ahora, si cualquiera I Donde O es un múltiplo exacto de METRO, entonces es posible un corte óptimo. De lo contrario, tendrás una zona de césped que será golpeada más de una vez. Llame a esto la «zona de error».

como cortar el cesped

Dave Linkletter

Si, por ejemplo, su cortacésped tiene 1 metro de ancho y su césped mide 6,7 metros de ancho por 8,3 metros de largo, no es posible un corte óptimo. El corte longitudinal dará como resultado siete columnas de 8,3 metros de largo y un área de doble corte de 0,3 por 8,3, para un área de error de 2,49 metros cuadrados. Cortar a lo ancho dará como resultado nueve filas de 6,7 metros de ancho y un área de error de 0,7 por 6,7, para un área de error de 4,69 metros cuadrados. En este caso, una elección es significativamente más efectiva.

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Así que escribí una fórmula general para esta situación que parece esta por la situación longitudinal…

como cortar el cesped

Dave Linkletter/Wolfram Alpha

…y esta por ancho:

como cortar el cesped

Dave Linkletter/Wolfram Alpha

Su diferencia indica si es mejor cortar a lo largo o a lo ancho. Puedes reemplazar variables I, METROy O en esta entrada para probar diferentes tamaños de cortadoras de césped y césped.

Cómo cortar un césped raro

como cortar el cesped

imagendepotproimágenes falsas

Hasta ahora, eso fue todo por un simple rectángulo. Siempre que su césped tenga una forma conectada, sin islas ni espacios en el medio del césped, eso es lo que los matemáticos llaman una «región conectada simple» en un plano. Lo que hace que la pregunta sea más matemática es cuando el césped tiene otras formas.

Tal vez su césped tenga algunas áreas grandes, conectadas entre sí por tiras más pequeñas de césped. A continuación, querrá minimizar el cruce de estas pequeñas bandas repetidamente, por lo que no querrá ir y venir entre regiones repetidamente. Para los matemáticos, esta situación recuerda a la ciudad de Königsberg, en Prusia.

Leonhard Euler fue un científico suizo del siglo XVIII. Contribuyó más a las matemáticas que nadie en la historia, en algunos aspectos. Inventó el tema ahora conocido como teoría de grafos, con el fin de resolver lo que ahora se llama el Problema de los puentes de Königsberg.

La ciudad de Königsberg tenía cuatro masas de tierra conectadas por puentes. Surgió la pregunta: «¿Es posible caminar por la ciudad y cruzar cada puente exactamente una vez?» Euler demostró que eso es imposible, y su lógica no requiere un título en matemáticas para entender.

Euler pensó esto: digamos que acaba de caminar alrededor de Königsberg y logró cruzar cada puente exactamente una vez. Entonces, empezaste en una isla y terminaste en una isla; llámelos sus puntos de inicio y fin. Tal vez empezaste y terminaste en la misma isla; eso no tiene importancia.

Ahora piensa en cualquier isla otro que sus puntos de salida y llegada. Debes haber entrado y salido de esta isla la misma cantidad de veces. Estaesa es la clave Si viniste dos veces a esta isla, debes haberla dejado dos veces, ya que no comenzaste ni terminaste allí.

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Entonces, si una isla está conectada por dos puentes, puede funcionar bien. Vas allí en un puente, lo dejas en el otro, y ahora has viajado por todos los puentes a esta isla, por lo que no necesitas volver allí. Cualquier número par de puentes es adecuado. Pero un número impar de puentes es un problema.

como cortar el cesped

Merian-Erben (Dominio público)Wikimedia Commons

Euler notó que lo que importa son las islas conectadas con un número impar de puentes. Solo las islas iniciales y finales pueden tener un número impar de puentes. Entonces se puede enunciar el teorema: Si más de dos islas tienen un número impar de puentes, entonces el problema de los puentes no tiene solución.

Como puede ver en la ilustración de arriba, Königsberg tenía cuatro islas, cada una conectada por un número impar de puentes. Y así Euler demostró que el problema de los puentes de Königsberg no tenía solución.

Entonces, volvamos al césped: es posible que tenga un césped que se relacione con este problema clásico. Si algunas partes de su césped tienen un número impar de conexiones y otras tienen números pares, entonces las matemáticas le dan un pequeño consejo: comience a cortar en un área con un número impar de conexiones a otras áreas.

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Dave Linkletter

Si tiene que cortar un césped extenso, eso podría convertirse en un pequeño y divertido problema de teoría de gráficos. Pero si lo ha estado cortando durante años, probablemente ya sepa cómo hacerlo de manera efectiva.

No necesitas matemáticas avanzadas para resolver este problema, tal vez solo para hablar de él de una manera más abstracta.

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